AULA 3 – Triângulos: Congruências e Semelhanças & Teorema de Pitágoras

AVE – AÇÃO DE VOLUNTARIADO EM EDUCAÇÃO

Curso preparatório para o PROFMAT 2015

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“Inscrições Abertas - Exame Nacional de Acesso 2015”

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AULA 3 – Triângulos: Congruências e Semelhanças &

Teorema de Pitágoras

AULA 3 – TÓPICO I: TRIÂNGULOS: CONGRUÊNCIA E SEMELHANÇA

          Dizemos que dois triângulos são congruentes quando os lados e ângulos do primeiro triângulo estão em correspondência com os lados e ângulos do segundo triângulo e eles têm as mesmas medidas.

         A congruência entre triângulos diz que eles têm os lados e ângulos correspondentes com as mesmas medidas.

          A semelhança de triângulos é diferente. Quando dois triângulos são semelhantes eles têm os ângulos correspondentes de mesma medida (congruentes), entretanto os lados correspondentes entre os dois triângulos serão proporcionais.

         A semelhança entre triângulos diz que eles têm os lados correspondentes com medidas proporcionais e os ângulos correspondentes com as mesmas medidas.

          Determinamos a congruência de dois triângulos olhando para os seis elementos de cada triângulo: seus três lados e seus três ângulos, e comparamos as medidas. Entretanto é suficiente sabermos de três elementos.

Critérios para aferirmos a congruência entre triângulos:

          São quatro critérios, são eles:

                                                 

Caso LLL (Lado, Lado, Lado) - Se os três lados de dois triângulos são congruentes tais triângulos também são congruentes.

Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado) - Se dois triângulos possuem ordenadamente lado, ângulo e lado congruentes, então eles também são congruentes.

Caso ALA (Ângulo Lado Ângulo) - Se dois triângulos possuem ordenadamente ângulo, lado e ângulo congruentes, então eles também são congruentes.

Caso LAA_o  (Lado, Ângulo, Ângulo oposto) - Se dois triângulos possuem ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente a esse lado e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos também serão congruentes.

 

• Aferindo a semelhança entre triângulos

         Para determinamos se dois triângulos são semelhantes vamos ter duas etapas a serem cumpridas:

a) determinamos as correspondências dos vértices de cada triângulo, pois assim determinaremos a correspondência dos lados e dos ângulos entre estes dois triângulos.

          Pela nossa figura, se os vértices A, B, C correspondem, respectivamente, aos vértices A’, B’, C’ e sendo os triângulos semelhantes, temos então a formação das seguintes as razões de proporcionalidade abaixo entre os lados correspondentes e sendo K o chamado fator de proporcionalidade.

b) Para que dois triângulos sejam semelhantes temos que ter ainda uma segunda condição: seus ângulos correspondentes dever ser iguais. Desse modo podemos indicar da seguinte maneira a semelhança entre triângulos:

AULA 3 – TÓPICO II: TEOREMA DE PITÁGORAS

         Talvez o teorema de Pitágoras seja o mais importante teorema de toda a História da Matemática. As relações entre os lados de um triângulo retângulo, que o teorema descobre à nossa cognição, é de muitíssima importância.

          O enunciado do Teorema de Pitágoras é o seguinte:

“O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.”

A fórmula matemática é simples, acompanhe abaixo com o triângulo dado:

Temos então que:

           a² = b² + c²

          Tal formulação se aplica a todo e qualquer triângulo retângulo. Claro que não podemos nos esquecer que os triângulos são triângulos retângulos quando possuem um de seus ângulos internos medindo 90º.
          As aplicações do Teorema de Pitágoras são incontáveis. Praticamente em todas as áreas da Matemática e da Engenharia temos suas aplicações vislumbradas, por isso o assunto é de tão grande importância.