AULA 4 – Equações do segundo grau & Razões trigonométricas

AULA 4 – TÓPICO I: EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU

         Equações do segundo grau são aquelas do tipo ax² + bx +c = 0. Notamos que x é chamado de variável (ou incógnita: de quem se quer saber o valor), a, b e c são chamados de coeficientes. Importante notar que o coeficiente a não pode ser igual a zero para termos uma equação do segundo grau, com a=0 teremos então bx + c = 0 (uma equação do primeiro grau). A forma apresentada da equação do segundo grau é a chamada forma normal ou reduzida.

EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU INCOMPLETA

         Não podemos ter o coeficiente a igual à zero, entretanto podemos ter b=0 ou c=0, ou mesmo b e c iguais a zero.

         Equação do segundo grau completa => b e c diferentes de zero.

         Equação do segundo grau incompleta => b=0, c=0, ou b=c=0.

A RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE SEGUNDO GRAU INCOMPLETA

         Do tipo ax² + c = 0

         Do tipo ax² + bx = 0

         Do tipo ax² = 0

         A resolução dos três tipos incompletos é realizada através de algumas operações algébricas bem simples:

1º - procuramos isolar a incógnita x de um lado da equação;

2º - resolvemos a expressão algébrica que se apresentou. Assim, teremos que a única solução possível para a equação do tipo incompleta do tipo ax² = 0 é zero, a do tipo ax² + bx = 0, apresentará a expressão que segue: x (ax + b), logo uma de suas raízes deverá ser 0 (zero) e a outra será encontrada pela resolução do fator que sobrou. A equação incompleta do tipo ax² + c = 0, há uma observação a ser feita: se a expressão –c/a for negativa a equação não terá raízes reais. Sua resolução se dará pela seguinte expressão:

 

A RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU COMPLETA

         Podemos resolver as equações completas do segundo grau fazendo a transformação do trinômio ax² + bx + c na forma fatorada de um trinômio quadrado perfeito.

         Forma fatorada do trinômio quadrado perfeito a² + 2ab + b² é:

(a+b)²,  e do trinômio quadrado perfeito a² - 2ab + b² é  (a-b)²

         Caso o trinômio não fosse quadrado perfeito teríamos que utilizar técnicas algébricas para torná-lo um quadrado perfeito. Algumas vezes é fácil realizarmos tal tarefa, entretanto muitas vezes se torna bem difícil fazê-lo.

UTILIZANDO A FÓRMULA DE BHASKARA

        

         A fórmula de Bhaskara nos permite resolver qualquer equação completa do segundo grau. Sua expressão segue abaixo:

         O termo que está sob a raiz quadrada da expressão é chamado de discriminante. O discriminante pode ser positivo ( a equação terá duas raízes reais e distintas), negativo ( a equação não terá raízes reais uma vez que não há raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais) ou nulo (a equação terá duas raízes reais e iguais).

          Então a expressão pode ser reescrita da seguinte forma:

 

RELAÇÕES ENTRE AS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU E SEUS COEFICIENTES

         Importantes são as chamadas relações de Girard, que seguem abaixo.

         Soma das raízes

         Produto das raízes

Observação importante 1:

         Podemos compor a equação do segundo grau da forma abaixo, com a soma e o produto das suas raízes. Vejamos:

X² - Sx + P = 0

Sendo S a soma das raízes e P o produto das mesmas. Observe que o coeficiente a deve ser igual a um: a = 1.

Observação importante 2:

         Vimos acima que há a possibilidade da fatoração do trinômio quadrado perfeito. Notamos que podemos fatorar qualquer trinômio do segundo grau quando conhecemos suas raízes através da seguinte expressão:

 y = a ( x – x’) (x – x’’)

por exemplo:

seja y = 3x² + 10x + 3

as raízes são: x’ = - 1/3  e  x’’ = - 3

Então, após fazermos todas as operações sobre a expressão

y = [x-(-3)] [x- (- 1/3)]

teremos a forma fatorada           

y = (x + 3) (3x + 1)

Observação importante 3:

EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS

         Quando pelo menos um dos membros da equação possui uma parcela que é uma fração algébrica teremos uma equação do segundo grau fracionária. Observamos que não pode haver divisão por zero, assim, teremos que excluir do conjunto-solução qualquer valor que torne o denominador igual a zero.

Observação importante 4:

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

         Se houver incógnita no radicando temos uma equação irracional. Para resolvê-la precisamos em primeiro lugar transformá-la numa equação racional para só então utilizarmos a formula de Bhaskara ou outro método de resolução e por fim, depois de achadas as raízes, temos que fazer se as raízes da equação racional podem também ser raízes da equação irracional original.

Observação importante 5:

EQUAÇÕES BIQUADRADAS

         As equações biquadradas não constam do edital do PROFMAT 2015. É matéria que geralmente é dada em conjunto com as equações do quadráticas (ou do segundo grau). Quem quiser saber mais sobre as equações biquadradas pode acessar o seguinte link que é muito bom: http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2/equacoes2_11.php.