Aula 2 - TÓPICO 2: PROBABILIDADE

TÓPICO 2 – PROBABILIDADE

         A probabilidade estuda a possibilidade (chance) de um evento ocorrer.

        

CONCEITOS IMPORTANTES

Experimento aleatório: são aqueles que repetidos sob as mesmas condições podem apresentar resultados diversos devido ao acaso. Ex.: lançamento de dado, lançamento de moeda.

Espaço amostral (U): é o conjunto dos possíveis resultados do experimento aleatório.  Às vezes é difícil determinar o espaço amostral de um experimento, sendo utilizadas as técnicas dos métodos de contagem. Ex.: espaço amostral de um dado: 6; espaço amostral de uma moeda: 2 (cara ou coroa).

Evento (E): é um subconjunto de um espaço amostral. Muitas vezes não nos interessam todos os resultados de um espaço amostral, então trabalhamos com subconjuntos do mesmo. Pode ser definido por uma propriedade comum aos seus elementos. Ex.: experimento é o lançamento de dados, então nosso espaço amostral (U) é {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e seja nosso evento (E): o número da face superior é menor que 4, então o evento corresponde a {1, 2, 3}.

         Temos alguns tipos de eventos, a saber:

Evento impossível: sem chance de ocorrer (conjunto vazio);

Evento certo: chance total de ocorrer. O resultado da probabilidade será a unidade (1);

Evento união: evento formado pela união de conjuntos distintos;

Evento interseção: evento formado pela interseção de conjuntos distintos. Dizemos que eventos são mutuamente excludentes quando a ocorrência de um elimina a ocorrência do outro.

Evento complementar: é o evento relativo a um espaço amostral que ocorre quando outro não ocorre e a união deles é igual ao espaço amostral. Observe que um evento qualquer somado a seu complementar tem como resultado a unidade (1).

PROBABILIDADE EM ESPAÇO AMOSTRAL EQUIPROVÁVEL

         Consideremos que todos os elementos de um espaço amostral (U) têm as mesmas chances de ocorrer (diz-se um espaço equiprovável). Então, definimos intuitivamente a probabilidade de ocorrer determinado evento como uma razão entre o número de casos favoráveis (que é o número de casos que nos interessam) e o número de casos possíveis (que é o total de casos):

P(A) =  n (A)  

             n (U)

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS (regra da adição ou regra do “ou”)

         Se tivermos dois ou mais eventos, a probabilidade que ocorram uns ou outros e dada pela interseção desses eventos.

         No caso de um sorteio e duas chances você ganha com uma possibilidade ou com outra. Por isso regra do “ou”.

a) se os eventos forem não mutuamente exclusivos ( A U B possuem elementos comuns):

P( A U B ) =   P(A) + P(B) - P( A ∩ B )

b) se os eventos forem mutuamente exclusivos (disjuntos):

P( A U B ) =   P(A) + P(B)

PROBABILIDADE CONDICIONAL

         Às vezes a probabilidade da ocorrência de um evento está vinculada à realização de outro, nesse caso estaremos diante de uma probabilidade condicional. Geralmente vem com essa expressão: “probabilidade da ocorrência de “A” sabendo que “B” já ocorreu: P(A/B).”

P(A/B) =  P( A ∩ B )  

                     P(B)

Obs.: Existem eventos que são independentes, ou seja, a ocorrência de um não depende da ocorrência do outro. Nesse caso temos que 

P(A/B)=P(A)  ou  P(B/A)=P(B).

PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES SIMULTÂNEA OU SUCESSIVAMENTE (ou regra da multiplicação de probabilidades ou regra do “e”)

         Quando temos acontecimentos composto por vários eventos sucessivos (ou simultâneos) e independentes (n eventos), a probabilidade de que eles ocorram é dada pela multiplicação das probabilidades.

P = P(A) ∙ P(B) ∙ P(C) ∙... ∙ P(n)

Obs.: De uma forma geral temos que da fórmula da probabilidade condicional segue a fórmula em que se avalia a probabilidade de ocorrerem eventos simultâneos (ou sucessivos) que é P (A ∩ B). Para tanto basta multiplicar a probabilidade de ocorrer um deles pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu P(A/B), ou seja, nesse caso o segundo evento (quando sucessivos o segundo em ordem de acontecimento e quando simultâneos se verifica qual o ‘dependente’, que será o segundo evento).  

Vejamos:

P(A/B) =  P( A ∩ B )     =>     P( A ∩ B ) = P(A/B) ∙ P(B)

                     P(B)

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL DAS PROBABILIDADES (ou probabilidade de sucessos em tentativas independentes)

         Experimentos binomiais são experimentos aleatórios que apresentam somente dois possíveis resultados (cara ou coroa, positivo ou negativo, certo ou errado). Estará caracterizado o experimento binomial quando quisermos saber a probabilidade da ocorrência de um evento (sucesso) e do seu complementar (insucesso) em um número de tentativas pré-estabelecidas, sendo que em todas as tentativas temos eventos independentes e condições idênticas.

Obs.: na resolução de problemas de distribuição binomial verificamos diversas fórmulas em diferentes livros. Na verdade as formulações são diferentes mas o raciocínio matemático por trás é o mesmo. Através de exemplos verificaremos isso.