NOTÍCIA
IMPORTANTE: a data da prova do exame do PROFMAT 2015 mudou. A prova se
realizará no dia 1º de novembro de 2014. Quem quiser pode conferir no sítio do
PROFMAT.
Confira aqui a Retificação do Edital do
Exame Nacional de Acesso 2015
· Edital do Exame Nacional de Acesso 2015- Retificação
18/07/2014 18:50
· Devido
à realização do 2º turno das eleições no dia 26/10/2014, fica adiado para 01/11/2014 a
realização do Exame de Acesso 2015. Também foram alteradas as datas dos
RESULTADOS PRELIMINARES para o dia 12/12/2014, bem como a data para o PEDIDO DE
REVISÃO para o período de 13 a 15/12/2014.
AULA
2 - MÉTODOS DE CONTAGEM E PROBABILIDADE
TÓPICO 1 - MÉTODOS DE CONTAGEM
INTRODUÇÃO
Métodos
de contagem é outro assunto bastante cobrado nas provas do PROFMAT. Já
Probabilidade é assunto que vem sendo cobrado desde a seleção para 2014, e
apesar de ter tido pouca cobrança é um assunto que a prova pode vir a cobrar
mais, pelas próprias características do certame. São assuntos importantes, por
isso, além da nossa aula procure por mais informações e faça muitos exercícios.
Ótima aula!
O modo como é cobrado exige mais noções
de aritmética básica e certos cuidados do que a memorização de ‘fórmulas’.
Entretanto, saber certas fórmulas (que são bem simples na chamada Análise
Combinatória) pode ser útil em muitas situações. Recomendamos então que o aluno
abra seus horizontes para certas noções de contagem sem a utilização de
‘fórmulas’ mas que saiba também (memorize) algumas delas.
PRINCÍPIO
FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
O Princípio
Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem:
“Se uma decisão D1 pode ser tomada de p modos
e, qualquer que seja essa escolha, a decisão D2 pode ser tomada de q modos,
então o número de maneiras de se tomarem consecutivamente as decisões D1 e D2 é
igual a pq.” (conceito retirado da apostila de Paulo Cezar Pinto Carvalho, disponível no sítio da Obmep, in: http://www.obmep.org.br/docs/Apostila2-contagem.pdf.
Em miúdos, é o total
de possibilidades de se efetuar uma ação completa que seja constituída de
eventos sucessivos (no mínimo dois eventos sucessivos).
Alguns matemáticos
ousam dizer que “toda escolha sucessiva é calculada pelo PFC.” Talvez seja
exagero mas essa afirmativa por si só demonstra a importância do Princípio
Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem.
O Princípio
Multiplicativo pode ser ilustrado com o auxílio de uma
árvore de enumeração (ou diagrama de árvore)
como a da figura abaixo:
FATORIAL
Bastante utilizado na resolução de
exercícios de contagem.
Seja n um número natural, chama-se n!
(lê-se: “ene fatorial”) a seguinte expressão:
n! =
n (n-1) (n-2) (n-3) .... ∙ 2 ∙ 1
com
n ≥ 2
OBSERVAÇÃO:
|
0! = 1
|
1! = 1
|
AGRUPAMENTOS
Certos agrupamentos são importantes
para a resolução de problemas de contagem. Os mais destacados são os ARRANJOS,
as COMBINAÇÕES e as PERMUTAÇÕES. Vamos vê-los:
ARRANJOS
Arranjo é o agrupamento de n
elementos distintos de um conjunto, tomados p a p, é qualquer sequência
ordenada de p elementos distintos escolhidos entre os n existentes (p ≤ n).
Existem também os arranjos com elementos repetidos.
EXPRESSÕES MATEMÁTICAS DO ARRANJO:
ARRANJOS SIMPLES:
ARRANJOS COM REPETIÇÃO:
PERMUTAÇÕES
Permutação é o agrupamento de n
elementos distintos de um conjunto é todo arranjo de tais n
elementos tomados p a p com p = n. Existem também as permutações
com elementos repetidos.
EXPRESSÕES MATEMÁTICAS DA PERMUTAÇÃO
PERMUTAÇÕES SIMPLES:
PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÃO:
PERMUTAÇÕES CIRCULARES:
COMBINAÇÕES
Combinação é o agrupamento de n
elementos distintos de um conjunto, tomados p a p, que diferem entre si
pela natureza de seus elementos (a ordem não importa! Ex.: o grupo azul,
verde, branco é igual ao grupo verde, azul, branco.). Existem também as
combinações com elementos repetidos.
EXPRESSÕES MATEMÁTICAS DA COMBINAÇÃO
COMBINAÇÕES SIMPLES:
COMBINAÇÕES COM REPETIÇÃO:
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