Aula 1 - Proporcionalidade, Porcentagem, Equações do primeiro grau, Sistema de Equações do primeiro grau!

AULA 1

INTRODUÇÃO

         Os assuntos da aula de hoje foram cobrados muitas vezes nas provas anteriores do PROFMAT. São assuntos importantíssimos e que precisam de muito treino para uma prova. Por isso procure fazer muitos exercícios. Boa aula!

            Quaisquer dúvidas ou recomendações podem ser colocadas nos comentários que procuraremos responder quando soubermos e pudermos fazê-lo. Nosso curso é um ato de voluntariado e poderá ser ainda melhor com a cooperação de todos!

PROPORCIONALIDADE E PORCENTAGEM

EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

TÓPICO 1 – PROPORCIONALIDADE E PORCENTAGEM

RAZÃO

Razão é uma divisão (quociente) de dois números inteiro a e b com b ≠ 0.

a ∕ b

a é chamado de antecedente e b é chamado de consequente.

Pronunciamos da seguinte maneira: “a está para b.” Como também “a razão de a sobre b.”

         FIQUE ESPERTO:

         A razão é uma comparação entre grandezas.

Obs. Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado.

PROPORÇÃO

         Trata-se de uma igualdade de razões.

Tendo quatro números racionais a, b, c, d, não nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º (a) para o 2º (b) for igual à razão do 3º (c) para o 4º (d). Assim:

a/b = c/d ou a:b = c:d (lê-se “a está para b assim como c está para d”).

         Os números a, b, c, e d são os termos da proporção, sendo: b e c os meios da proporção, a e d os extremos da proporção.

         Obs.: nas proporções em que os meios são iguais (também chamadas de proporção contínua), qualquer dos outros dois números recebe o nome de terceiro proporcional.

         a/b = b/c   => c é a terceira proporcional

         Obs.: Numa proporção contínua chamamos de média proporcional ao consequente da primeira razão ou o antecedente da segunda razão, que são iguais entre si.

                   Chama-se quarta proporcional de três números dados, a, b, e c, o quarto número x, que forma com a, b e c uma proporção:

         a/b = c/x   => x é a quarta proporcional

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA PROPORÇÃO

         a/b = c/d temos a.d = b.c (o produto dos extremos é igual ao produto dos meios).

OUTRA PROPRIEDADE DA PROPORÇÃO

         Em toda proporção a soma ou diferença dos antecedentes está para a soma ou diferença dos consequentes assim como cada antecedente está para seus consequente.

a+c/b+d = a/b   e   a+c/b+d = c/d, sendo b e d diferentes de zero.

DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

         Duas sequências de números diferentes de zero são diretamente proporcionais quando a razão de cada número da primeira sequência pelo correspondente da segunda sequência for sempre a mesma.

Seja a, b, c diretamente proporcional a d, e, f, então temos:

a/d = b/e = c/f = a+b+c/d+e+f = k

k é o fator de proporcionalidade.

NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

         Duas sequências de números diferentes de zero são inversamente proporcionais quando o produto de cada número da primeira sequência pelo correspondente da segunda sequência for sempre o mesmo.

Seja a, b, c inversamente proporcional a d, e, f, então teremos:

a/1/d = b/1/e = c/1/f <=> a.d = b.e = c.f = k

k é o fator de proporcionalidade

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS E GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

         Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se (ou diminuindo-se) uma delas um certo número de vezes, a outra aumenta (ou diminui) o mesmo número de vezes.

         Consequentemente, se duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão de dois valores quaisquer de uma delas é igual à razão de dois valores correspondentes da outra.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

         Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando-se (ou diminuindo-se) uma delas um certo número de vezes, a outra diminui (ou aumenta) o mesmo número de vezes.

         Consequentemente, se duas grandezas são inversamente proporcionais, a razão de dois valores quaisquer de uma delas é igual ao inverso da razão dos dois valores correspondentes da outra.

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA

         Regra de três é um processo de resolução de problemas que envolve proporcionalidade. Muitos problemas podem ser resolvidos por meio da regra de três.

         A regra de três simples é a que envolve duas grandezas proporcionais. Elas podem ser direta ou inversamente proporcionais. Já a regra de três composta envolve mais de duas grandezas, que podem ser direta ou inversamente proporcionais.

          Para resolvermos os exercícios que são montados por meio de regra de três nos utilizamos das propriedades das razões e proporções. Veremos mais tarde através de exercícios.

PORCENTAGEM

A porcentagem é muito utilizada no nosso cotidiano, porém muitas pessoas ainda têm dificuldades com porcentagem. Também chamada de taxa percentual.

A porcentagem é a razão cujo denominador é 100. Por isso chamada também de razão centesimal. Pode ser representada por meio de razões centesimais na forma decimal como também através de taxas percentuais.

A noção de porcentagem:

a% = a/100 ou 0,0a

Exemplos:

5% = 5/100 ou 0,05 (a vírgula corre duas casas para a esquerda)

32,1% = 32,1/100 ou 0,321

        

TÓPICO 2 – EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

         Equações são sentenças matemáticas abertas (pelo menos um valor desconhecido, a incógnita) que apresentam uma igualdade.

     Numa equação o que queremos é ‘achar’ o valor desse valor desconhecido, também chamado de incógnita. Há vários tipos de equação.

         A equação do primeiro grau é toda aquela equação que pode ser escrita na forma: ax+b=0.

           A equação do primeiro grau é aquela em que a incógnita tem expoente igual a 1.

         Sendo a e b chamados de coeficientes (a é o coeficiente da incógnita e tem que ser diferente de zero e b é o coeficiente independente, também chamado de termo constante ou constante).

         Obs.: a solução da equação do primeiro grau ax+b=0 é a raiz da função polinomial do 1º grau f(x)= ax+b.

SISTEMAS DE EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

         Toda equação que pode ser reduzida à forma equivalente: ax+by=c, com a, b pertencentes ao conjunto dos números reais R e com a e b diferentes de zero são equações do primeiro grau com duas incógnitas e quando temos duas ou mais delas ligadas entre si pelo contexto algébrico estaremos diante de um sistema de equação do primeiro grau.

         Resolvemos sistemas de equação do primeiro grau pelos métodos da SUBSTITUIÇÃO (trata-se de substituição de valores) e da o da ADIÇÃO (trata-se de somar equações como verdadeiras parcelas), que na maior parte das vezes são usados conjuntamente. Através de exercícios veremos como tais métodos funcionam.

FINALIZAÇÃO

           Vimos até aqui o básico teórico sobre os assuntos da aula 1 (proporcionalidade, porcentagem, equações do primeiro grau e sistemas de equações do primeiro grau). Longe estamos de ter esgotado o assunto. Quem quiser se aprofundar nos mesmos pode encontrar muito material através da Internet e de livros de matemática próprios para concursos públicos e didáticos. Daqui a pouco postaremos exercícios para treinamento dos assuntos tratados nessa aula! BONS ESTUDOS!


Vamos a uma bateria de exercícios:

Exercício 1:

Exercício 2:
 

 
Exercício 3:
 

Exercício 4:

Exercício 5:

 

Exercício 6:

Exercício 7:

Exercício 8:

 

Exercício 9: