TÓPICO
2 – PROBABILIDADE
A probabilidade estuda a possibilidade
(chance) de um evento ocorrer.
CONCEITOS
IMPORTANTES
Experimento
aleatório: são aqueles que repetidos sob as mesmas condições podem apresentar
resultados diversos devido ao acaso. Ex.: lançamento de dado, lançamento de
moeda.
Espaço
amostral (U): é o conjunto dos possíveis resultados do experimento aleatório. Às vezes é difícil determinar o espaço
amostral de um experimento, sendo utilizadas as técnicas dos métodos de
contagem. Ex.: espaço amostral de um dado: 6; espaço amostral de uma moeda: 2
(cara ou coroa).
Evento
(E): é um subconjunto de um espaço amostral. Muitas vezes não nos interessam
todos os resultados de um espaço amostral, então trabalhamos com subconjuntos
do mesmo. Pode ser definido por uma propriedade comum aos seus elementos. Ex.:
experimento é o lançamento de dados, então nosso espaço amostral (U) é {1, 2,
3, 4, 5, 6}, e seja nosso evento (E): o número da face superior é menor que 4,
então o evento corresponde a {1, 2, 3}.
Temos alguns tipos de eventos, a saber:
Evento
impossível: sem chance de ocorrer (conjunto vazio);
Evento
certo: chance total de ocorrer. O resultado da probabilidade será a unidade (1);
Evento
união: evento formado pela união de conjuntos distintos;
Evento
interseção: evento formado pela interseção de conjuntos distintos. Dizemos que
eventos são mutuamente excludentes quando a ocorrência de um elimina a
ocorrência do outro.
Evento
complementar: é o evento relativo a um espaço amostral que ocorre quando outro
não ocorre e a união deles é igual ao espaço amostral. Observe que um evento
qualquer somado a seu complementar tem como resultado a unidade (1).
PROBABILIDADE
EM ESPAÇO AMOSTRAL EQUIPROVÁVEL
Consideremos que todos os elementos de
um espaço amostral (U) têm as mesmas chances de ocorrer (diz-se um espaço equiprovável).
Então, definimos intuitivamente a probabilidade de ocorrer determinado evento
como uma razão entre o número de casos favoráveis (que é o número de casos que
nos interessam) e o número de casos possíveis (que é o total de casos):
P(A)
= n (A)
n (U)
PROBABILIDADE
DA UNIÃO DE EVENTOS (regra da adição ou regra do “ou”)
Se tivermos dois ou mais eventos, a
probabilidade que ocorram uns ou outros e dada pela interseção desses eventos.
No caso de um sorteio e duas chances
você ganha com uma possibilidade ou com outra. Por isso regra do “ou”.
a)
se os eventos forem não mutuamente exclusivos ( A U B possuem elementos
comuns):
P( A
U B ) = P(A) + P(B) - P( A ∩ B )
b)
se os eventos forem mutuamente exclusivos (disjuntos):
P( A
U B ) = P(A) + P(B)
PROBABILIDADE
CONDICIONAL
Às vezes a probabilidade da ocorrência
de um evento está vinculada à realização de outro, nesse caso estaremos diante
de uma probabilidade condicional. Geralmente vem com essa expressão: “probabilidade
da ocorrência de “A” sabendo que “B” já ocorreu: P(A/B).”
P(A/B)
= P( A ∩
B )
P(B)
Obs.:
Existem eventos que são independentes, ou seja, a ocorrência de um não depende
da ocorrência do outro. Nesse caso temos que
P(A/B)=P(A)
ou P(B/A)=P(B).
PROBABILIDADE
DE EVENTOS INDEPENDENTES SIMULTÂNEA OU SUCESSIVAMENTE (ou regra da
multiplicação de probabilidades ou regra do “e”)
Quando temos acontecimentos composto
por vários eventos sucessivos (ou simultâneos) e independentes (n eventos), a
probabilidade de que eles ocorram é dada pela multiplicação das probabilidades.
P =
P(A) ∙ P(B)
∙ P(C)
∙... ∙ P(n)
Obs.:
De uma forma geral temos que da fórmula da probabilidade condicional segue a
fórmula em que se avalia a probabilidade de ocorrerem eventos simultâneos (ou
sucessivos) que é P (A ∩ B). Para tanto basta multiplicar a probabilidade de
ocorrer um deles pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu P(A/B), ou seja, nesse caso o
segundo evento (quando sucessivos o segundo em ordem de acontecimento e quando
simultâneos se verifica qual o ‘dependente’, que será o segundo evento).
Vejamos:
P(A/B)
= P( A ∩
B ) => P( A ∩ B ) = P(A/B) ∙ P(B)
P(B)
DISTRIBUIÇÃO
BINOMIAL DAS PROBABILIDADES (ou probabilidade de sucessos em tentativas
independentes)
Experimentos binomiais são experimentos
aleatórios que apresentam somente dois possíveis resultados (cara ou coroa,
positivo ou negativo, certo ou errado). Estará caracterizado o experimento
binomial quando quisermos saber a probabilidade da ocorrência de um evento
(sucesso) e do seu complementar (insucesso) em um número de tentativas
pré-estabelecidas, sendo que em todas as tentativas temos eventos independentes
e condições idênticas.
Obs.:
na resolução de problemas de distribuição binomial verificamos diversas
fórmulas em diferentes livros. Na verdade as formulações são diferentes mas o
raciocínio matemático por trás é o mesmo. Através de exemplos verificaremos
isso.
